Actuphilo

Actualité philosophique et réflexion philosophique sur l'actualité

Qu’est-ce qu’une courbe ?

Posted by Hervé Moine sur 14 février 2010

Vendredi 19 février 2010

Journée Nancy-Wuppertal

d’histoire des mathématiques

Qu’est-ce qu’une courbe ?

Maison des Sciences de l’Homme de Lorraine

Salle internationale

Au programme de cette journée

10h 30 – 12h

René Guitart, Paris 7 – Centre Viete : La coordination curviligne de Lamé à Darboux

La coordination est une double question : générale d’abord, quand elle est liée à l’approche a priori de tout problème physique, de tous les corps, des formes quelconques dans l’espace et de la forme de l’espace lui-même ; et particulière ensuite, quand il faut déterminer quelles sont les coordinations analytiquement les plus simples suffisantes pour la résolution des problèmes physiques qui se présentent réellement.

Le premier aspect conduit à l’idée générale de variété, et sera par là utile à la mise en place notamment de la relativité générale, et le second aspect pointe sur les fonctions elliptiques et les équations fuchsiennes, par où s’exprimeront les équations précises de toutes les questions physiques classiques.

Dans cette conférence on va se limiter à pointer les origines historiques de cette double problématique au seul plan mathématique.

On va donc précisément articuler ce qui se passe à partir de l’invention des coordonnées curvilignes /générales/ par Lamé, et de l’invention des coordonnées curvilignes/ particulières/ cruciales que sont les coordonnées elliptiques, par le même Lamé, et du rapport qu’il expose entre celles-ci et les fonctions et courbes elliptiques. Puis on verra comment Darboux reprend la question générale dans l’ensemble de sa théorie des surfaces, et la question particulière autour des ovales cartésiennes, des cyclides et des courbes cycliques, et partant invente les coordonnées pentasphériques qui, si l’on peut dire, linéarise le circulaire, de sorte que la théorie des cyclides s’y métamorphose en théorie des quadriques. Avec ces outils, à savoir les coordonnées curvilignes générales et particulières adéquates dans l’espace, l’étude des problèmes physiques relève alors (et c’est encore une idée qui, dans sa forme générale systématique est due à Lamé) d’une analyse spectrale, de la détermination de fonctions propres d’un problème, et la résolution consiste en une décomposition (on pourrait dire encore une coordination du second ordre) des solutions dans la base des fonctions propres.

14h 15 – 15h 45

Evelyne Barbin, Nantes – Centre Viete, Interactions critiques entre courbes et fonctions de Leibniz à Jordan

L’instauration d’un concept de courbe au XVII^e siècle passe par la délimitation d’un univers d’objets nommés courbes et d’un procédé d’identification des différents objets dans cet univers. Dans les deux siècles suivants, les questions de délimitation, d’identification et de classement des courbes sont étroitement liées à l’introduction de la notion de fonction et à ses transformations, aux propriétés des fonctions et à leurs mises en relation. Nous examinerons de ce point de vue des interactions où, à différents moments historiques et chez certains mathématiciens, sont opposées, d’une part, une représentation géométrique de l’objet que l’on considère comme une courbe, et, d’autre part, une écriture symbolique qui a pour « fonction » de délimiter l’univers des courbes en identifiant et en classant ce même objet en tant que courbe.

16h – 17h 30

Jean Delcourt, Cergy-Pontoise, Qu’est ce qu’une courbe gauche au 18ème siècle ?

On sait que l’étude générale des courbe gauches a été initiée au dix-huitième siècle par Alexis- Claude Clairaut dans son traité sur les courbes à double courbure. Outre l’adaptation à l’espace des notions planes (tangente, courbure et cercle osculateur), des problèmes spécifiques à ces courbes se dégagent rapidement :

  • Comment reconnaître qu’une courbe de l’espace est une courbe plane (étudié par Clairaut,Tinseau, D’Alembert, Monge…) ?
  • Comment définir une seconde courbure, qui, avec la première, caractériserait une courbe de l’espace (Monge, Lacroix, Fourier, Lancret) ?
  • Comment généraliser la notion de développée, sachant que ce n’est plus l’ensemble des centres de courbure (Monge) ?

Nous allons nous intéresser à un autre aspect, celui du rapport entre les courbes de l’espace et les équations différentielles. Sachant qu’une équation aux dérivées partielles représente des surfaces, Monge affirme, dans un article aussi long que son titre : /Supplément où l’on fait voir que les équations au différences ordinaires, pour lesquelles les conditions d’intégrabilité ne sont pas satisfaites, sont susceptibles d’une véritable intégration, & que c’est de cette intégration que dépend celle des équations aux différences partielles élevées, que ce sont certaines équations différentielles ordinaires qui représentent les courbes de l’espace/.

Après avoir rappelé le cas des équations linéaires, cas traité par Clairaut et Euler, nous examinerons en détail l’article de Monge et ses prolongements dans certains textes de Lacroix.

La journée Nancy-Wuppertal d’Histoire des mathématiques est organisée par les Archives Poincaré et supportée par la Région Lorraine, les universités de Nancy et Wuppertal, la MSH Lorraine et l’ANR.

Publicités

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s

 
%d blogueurs aiment cette page :